頭の体操 Vol.1～確率～の答え

どちらか一方の箱に白玉を1個、もう一方の箱に白玉49個と赤玉50個を入れる。

解説

ではまず、便宜上、二つの箱に名前を付けてAとBとします。今、Aに白玉を50個、Bに赤玉を50個入れたとしたら、Aを選ぶ確率が50%、次にそのAの中から白玉を引く確率は白玉の割合で50/50=100%です。だからAを選んで玉を取り出すこの一連の動作で白玉を引く確率は50%×100%=50%ということになります。しかしBを選んでしまった場合に白玉を引く確率となると、同様の計算で50%×0%=0%となります。ですから全体からみた確率は、50%になるわけです。

では、中の色のバランスを少し変えた場合はどうでしょうか。Aに白玉を30個と赤玉を20個、Bには逆に白玉を20個と赤玉を30個、を入れた場合をみてみます。

Aを選んで白玉を引く確率は、上記に従って50%×30/50%=30%、一方、Bを選んで白玉を引く確率は、50%×20/50%=20%です。したがって、全体で白玉を引く確率は30%+20%=50%で、やはり50%と変わりません。

次に、Aに白玉20個、赤玉10個の合計30個を、Bには白玉30個、赤玉40個の70個を入れたとしたらどうなるか。この場合、Aを選んで白玉を引く確率は50%×20/30%=33.3%、Bを選んで白玉を引く確率は50%×30/70%=21.4%、従って全体では33.3%+21.4%=54.7% と、50%にはなりません。しかもこの場合50%以上に確率が上がっています。

つまり、玉を少なく入れる箱に白玉を多くしていけば、全体として白玉を引く確率が高くなっていくことを示していることがわかってきます。

ここまでくれば、もう正解に到達したも同然です。それは一方の箱に白玉を1個だけ入れるケースです。この場合、Aを選んで白玉を引く確率：50%×1/1%=50%と、白玉49個と赤玉50個入っているBを選んで白玉を引く確率である50%×49/99%=24.7%、つまりこの場合の白玉を引く確率は74.7%にもなるというわけです。